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1、在 ABC中, ∠A的角平分线记为, ∠B的角平分线记为, ∠C的角平分线记为, 三边边长为a,b,c，它们长度的公式为:其中p是半周长 如图，我们先证明由角平分线定理可得x/c=y/a，并注意到x+y=b消去x，化简得y=ab/(a+c)运用两次余弦定理：~~①把cosC和y的表达式代入①中得化简得设，那么上式可以写成∴其他角平分线长度同理可证 已知△ABC中，AD是角平分线，求证证明：延长AC到E，使CE=CD，连接DE，则AE=AC+CD,∠E=∠ACB/2．在AB边上取点F，使BF=BD，连接DF，则AF=AB－BD,∠BDF=∠BFD.∠BDF+∠BFD=180°-∠B=∠A+∠C即∠BFD=(∠A+∠C)/2又 ∠BFD=∠ADF+∠A/2∴∠ADF=∠BFD-∠A/2=(∠A+∠C)/2-∠A/2=∠C/2=∠AED∵∠DAF=∠EAD∴△AED∽△ADF∴AE/AD=AD/AF从而 AD²=AE×AF=(AC+CD)(AB－BD)=AB×AC-AC×BD+AB×CD-BD×CD ①由角平分线定理得AB/BD=AC/CD，即AB×CD=AC×BD代入①中得AD²=AB×AC-BD×CD，得证。
2、 如图，利用面积证明公式三。
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