最近在给学生上微积分课的时候,遇到学生各种各样的问题:
求导不就是微分吗,怎么还有区别啊!
换元求积分为什么还跟求导有关系?
求体积的方法有这么多,我到底用哪一种?
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其实这些问题是很多同学学习时都会有的疑问,毕竟微积分5分容错率相对较高,很大比例的问题依靠对公式“死记硬背”即可解决。
对基础概念的和公式的意义可以“不求甚解”。但是一旦遇到了复杂的问题,往往无从下手,只能选择性放弃。
为了解决以上疑问,我们需要来弄明白最本质的问题,到底什么是微积分?微积分能用来做什么?
首先来看微积分这个词,我们把它拆开就是微分+积分。微分,顾名思义,就是把一个整体拆分成微小的单元。积分, 顾名思义,就是把微小的单元累积起来变成一个整体。
微分和积分是两个相逆的过程。 那么具体我们怎么去运用微分和积分呢?
1、举一个简单的例子
这是我家的一个乐高小人,他长的很帅气,但是我总觉得他的身材比例不协调(可能是头太大?)。于是我想测一测,到底他的头和身体的比例是多少,但是如何测量呢?
从上图中看出,它的身体各个部分并不是常见的规则图形,所以无法直接测出头或身体的大小。这候我们就需要用到微分,通俗的讲,就是“拆”!
拆开后,我们可以看出,若忽略连接处的凸起,拆出的每个小块近似可以看做长方体,而长方体的体积相信所有人都不陌生。
这时我们就可以算出每个长方体的体积,最终把他们加在一起就是我们需要的各个部分的体积了,这个步骤叫做积分。
当然,这个小人属于棱角比较分明的,所以我们可以把他拆分成长方体。
但现实生活中的大多数物体的表面都是“圆滑”曲线,若还是把它们微分成方形,是否就失真了呢?
2、为解释以上问题,引入两个概念
● 概念一:像素
像素是指由图像的小方格组成的,这些小方块都有一个明确的位置和被分配的色彩数值,小方格颜色和位置就决定该图像所呈现出来的样子,比如以下这个蜘蛛侠,每个小方格就代表了一个像素。
● 概念二:分辨率
通常情况下,图像的分辨率越高,所包含的像素就越多,图像就越清晰。我们现在每天用的电脑屏幕有不同的分辨率。
眼下我用来编辑文章的这台电脑是4K分辨率,意味着一个屏幕上有接近4096×2160个像素点。
大多数电脑的分辨率是1440x900或者2880x1800等等。现在我们可以直观看一下不同分辨率的效果图,可对比以上马赛克风蜘蛛侠。
128*128
( 轮廓已经圆滑,但是细节很模糊 )
2048*2048
( 细节很完善,光影变化流畅 )
从这对比图中我们可以发现,当我们的像素足够多,或者说,把一个图片微分到足够小的时候,有多少像素,相当于微分成了多少个单元。
这些小的方块拼接成的整体和实体会非常接近。其实在128*128的图片中,已经看不出是由小方块构成的了。
而随着科技进步,分辨率也会逐步提高,如果未来我们能够把图片无限细分下去,像素点个数接近于无穷。
最终通过小方块累加得到的总体就会和实体一模一样,从而解决了“失真”的问题。这就是微积分里近似和极限的思想。
3、从现实的例子回归到微积分题目
1.题目描述
怎么选择方法去计算一个物体的体积?我们来看下面的这个例子。这是16年AP微积分BC里的一道简答题,题目不难,需要计算这个漏斗的体积。
很多同学拿到题目就开始从脑海里检索背过的公式。但是最终不知道用哪个公式。那么正确的思路应该是什么?
2.正确的解题思路
根据前两个例子,我们第一步要想清楚如何去微分,微分的目的是把不熟悉的图形分割成熟悉可以处理的图形。
如果再分割成正方体其实也可以,但是过于复杂,我们学过的常见图形可不止立方体一种,比如在这里我们可以尝试把这个漏斗切分成小薄片。
如下图所示,微分之后我们会发现,每个小薄片都可以看做是一个小的圆柱体,圆柱也是我们非常熟悉的图形。
为了能够看清,薄片画的比较厚
圆柱的体积是πr^2h。在这里h非常小,我们记做dh,每个薄片的体积就可以表示成πr^2dh。
最后,我们只需要将h从0到10的这些小圆柱加在一起,根据我们的经验,只要分割的足够细,这个总和就会与漏斗的体积完全相同。
那么在微积分里,总体积可以表示如下:
最后一步,我们把题目中 r 和 h 的关系代入即可求得结果(此处省略计算结果)。
4、理解原理比背公式和套用公式更加重要
上面这道题是众多体积计算中比较简单的一类,还有很多其他体积计算的问题。AP微积分中需要掌握的是圆盘法,圆柱壳法,固定横截面积的体积计算等等。
除了计算体积,微积分也可以用在很多其他的地方。比如研究变速运动,函数的最值,物体的重心等,甚至有位清华的学生用微积分来研究薯片掉在地上是否还能吃。