大家好,小东方来为大家解答以上的问题。中线的性质是什么，中线的性质这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！
1、中位线 1.中位线概念： (1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． 注意： (1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的 线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段． (2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段． (3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线． 2.中位线定理： (1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． (2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底。
2、并且等于两底和的一半． 中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此。
3、它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E。
4、F，△ABC的面积． 分析 由条件知，EF。
5、EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长． 解 由已知，E。
6、F分别是AB，BD的中点，所以。
7、EF是△ABD的一条中位线，所以 由条件AD+EF=12(厘米)得 EF=4(厘米)， 从而 AD=8(厘米)。
8、 由于E，G分别是AB，AC的中点。
9、所以EG是△ABC的一条中位线，所以 BC=2EG=2×6=12(厘米)， 显然。
10、AD是BC上的高，所以 例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B。
11、∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G。
12、AH⊥CF于H． (1)求证：GH‖BC； (2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米。
13、求GH． 分析 若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样。
14、延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线。
15、所以GH‖BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度． (1)证 分别延长AG。
16、AH交BC于M，N，在△ABM中。
17、由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM。
18、所以 △ABG≌△MBG(ASA)． 从而，G是AM的中点．同理可证 △ACH≌△NCH(ASA)， 从而。
19、H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG‖MN。
20、即 HG‖BC． (2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以 AB=BM=9厘米。
21、AC=CN=14厘米． 又BC=18厘米，所以 BN=BC-CN=18-14=4(厘米)， MC=BC-BM=18-9=9(厘米)． 从而 MN=18-4-9=5(厘米)。
22、 说明 (1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线。
23、这个三角形是等腰三角形”． (2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明． (3)从本题的证明过程中。
24、我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示)，或改为“∠B。
25、∠C的外角平分线”(如图2-56所示)，其余条件不变，那么。
26、结论GH‖BC仍然成立．同学们也不妨试证． 例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′。
27、B′，C′，D′分别是AP。
28、PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′． 分析 由于A′。
29、B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP。
30、PB，BQ，QA的中点。
31、有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件。
32、不难证明这一点． 证 连接A′B′，B′C′，C′D′。
33、D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ。
34、△AQB，△APQ的中位线．从而 A′B′‖AB，B′C′‖PQ。
35、 C′D′‖AB，D′A′‖PQ， 所以。
36、A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以 AB⊥BC。
37、BC‖PQ． 从而 AB⊥PQ， 所以 A′B′⊥B′C′， 所以四边形A′B′C′D′是矩形。
38、所以 A′C′=B′D′． ① 说明 在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结。
39、积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的． 例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB。
40、E，F分别是AC，BD的中点．求证： 分析 在多边形的不等关系中。
41、容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取AD中点． 证 取AD中点G。
42、连接EG，FG，在△ACD中。
43、EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，所以 同理，由F。
44、G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线。
45、所以 在△EFG中， EF＞EG-FG． ③ 由①，②。
46、③ 例5 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB‖CD，E为BC的中点。
47、AD=DC+AB．求证：DE⊥AE． 分析 本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°． 在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线。
48、若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解． 证 取梯形另一腰AD的中点F。
49、连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以 因为AD=AB+CD。
50、所以 从而 ∠1=∠2，∠3=∠4， 所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而 ∠AED=∠2+∠3=90°。
51、 所以 DE⊥AE． 例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，D，E。
52、F分别是三边的中点，AA1，FF1。
53、DD1，EE1都垂直l于A1，F1。
54、D1，E1．求证： AA1+EE1=FF1+DD1． 分析 显然ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线。
55、OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证． 证 连接EF，EA，ED．由中位线定理知。
56、EF‖AD，DE‖AF，所以ADEF是平行四边形。
57、它的对角线AE，DF互相平分，设它们交于O。
58、作OO1⊥l于O1，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线，所以 即 AA1+EE1=FF1+DD1． 练习十四 1．已知△ABC中。
59、D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE。
60、CD，BE交于O点，OE=2厘米．求BO的长． 2．已知△ABC中。
61、BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线。
62、AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米。
63、BC=18厘米，求FH的长． 3．已知在△ABC中，AB＞AC。
64、AD⊥BC于D，E，F。
65、G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD． 4．如图2-61所示．在四边形ABCD中。
66、AD=BC，E，F分别是CD。
67、AB的中点，延长AD，BC。
68、分别交FE的延长线于H，G．求证：∠AHF=∠BGF． 5．在△ABC中，AH⊥BC于H。
69、D，E，F分别是BC。
70、CA，AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE． 6．如图2-63所示．D，E分别在AB。
71、AC上，BD=CE，BE。
72、CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB。
73、AC于P，Q．求证：AP=AQ． 7．已知在四边形ABCD中，AD＞BC。
74、E，F分别是AB，CD。
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