大家好,小东方来为大家解答以上的问题。欧几里得空间例子,欧几里德空间的问题这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!
1、更正:抱歉搞错了,这个词英语里叫closure,中文是闭包。
2、1.若不存在这样的d,则根据定义,x属于A的adherence(最小包含A的闭集)。
3、因为A是闭集,所以等于它的adherence,于是x属于A,矛盾。
4、 2.定义函数f:B->R,f(x)=inf||x-y||,y属于A,也就是d(x,A),x与A的距离。
5、B是紧的,且f有下界,所以在某一点a取最小值。
6、由1),存在d>0,d(a,A)=d,因此对于任意x属于B,d(x,A)>=d。
7、 3.反例的话取两条渐近线相同的双曲线即可。
8、 4.有很多证法,写一个易于理解的: 若无理数x不属于A,则由1),存在d,使得[x-d,x+d]这个区间包含于[0,1]且与A的交集为空集。
9、但这个区间内必存在有理数,矛盾。
10、 事实上,由Q的致密性,可知[0,1]中所有有理数集合的adherence就是[0,1],因此包含于A。
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